1. 不得不說說二叉樹
要了解堆首先得了解一下二叉樹，在計算機科學中，二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。二叉樹常被用於實現二叉查找樹和二叉堆。
二叉樹的每個結點至多只有二棵子樹（不存在度大於 2 的結點），二叉樹的子樹有左右之分，次序不能顛倒。二叉樹的第 i 層至多有 2i - 1 個結點；深度為 k 的二叉樹至多有 2k - 1 個結點；對任何一棵二叉樹 T，如果其終端結點數為 n0，度為 2 的結點數為 n2，則n0 = n2 + 1。
樹和二叉樹的三個主要差別：
樹的結點個數至少為 1，而二叉樹的結點個數可以為 0
樹中結點的最大度數沒有限制，而二叉樹結點的最大度數為 2
樹的結點無左、右之分，而二叉樹的結點有左、右之分
二叉樹又分為完全二叉樹（complete binary tree）和滿二叉樹（full binary tree）
滿二叉樹：一棵深度為 k，且有 2k - 1 個節點稱之為滿二叉樹
（深度為 3 的滿二叉樹 full binary tree）
完全二叉樹：深度為 k，有 n 個節點的二叉樹，當且僅當其每一個節點都與深度為 k 的滿二叉樹中序號為 1 至 n 的節點對應時，稱之為完全二叉樹
（深度為 3 的完全二叉樹 complete binary tree）
2. 什麼是堆？
堆（二叉堆）可以視為一棵完全的二叉樹，完全二叉樹的一個“優秀”的性質是，除了最底層之外，每一層都是滿的，這使得堆可以利用數組來表示（普通的一般的二叉樹通常用鏈表作為基本容器表示），每一個結點對應數組中的一個元素。
如下圖，是一個堆和數組的相互關系
（堆和數組的相互關系）
對於給定的某個結點的下標 i，可以很容易的計算出這個結點的父結點、孩子結點的下標：
Parent(i) = floor(i/2)，i 的父節點下標
Left(i) = 2i，i 的左子節點下標
Right(i) = 2i + 1，i 的右子節點下標
二叉堆一般分為兩種：最大堆和最小堆。
最大堆：
最大堆中的最大元素值出現在根結點（堆頂）
堆中每個父節點的元素值都大於等於其孩子結點（如果存在）
（最大堆）
最小堆：
最小堆中的最小元素值出現在根結點（堆頂）
堆中每個父節點的元素值都小於等於其孩子結點（如果存在）
（最小堆）
3. 堆排序原理
堆排序就是把最大堆堆頂的最大數取出，將剩余的堆繼續調整為最大堆，再次將堆頂的最大數取出，這個過程持續到剩余數只有一個時結束。在堆中定義以下幾種操作：
最大堆調整（Max-Heapify）：將堆的末端子節點作調整，使得子節點永遠小於父節點
創建最大堆（Build-Max-Heap）：將堆所有數據重新排序，使其成為最大堆
堆排序（Heap-Sort）：移除位在第一個數據的根節點，並做最大堆調整的遞歸運算
繼續進行下面的討論前，需要注意的一個問題是：數組都是 Zero-Based，這就意味著我們的堆數據結構模型要發生改變
（Zero-Based）
相應的，幾個計算公式也要作出相應調整：
Parent(i) = floor((i-1)/2)，i 的父節點下標
Left(i) = 2i + 1，i 的左子節點下標
Right(i) = 2(i + 1)，i 的右子節點下標
最大堆調整（MAX‐HEAPIFY）的作用是保持最大堆的性質，是創建最大堆的核心子程序，作用過程如圖所示：
（Max-Heapify）
由於一次調整後，堆仍然違反堆性質，所以需要遞歸的測試，使得整個堆都滿足堆性質，用 JavaScript 可以表示如下：
/**
* 從 index 開始檢查並保持最大堆性質
*
* @array
*
* @index 檢查的起始下標
*
* @heapSize 堆大小
*
**/
function maxHeapify(array, index, heapSize) {
var iMax = index,
iLeft = 2 * index + 1,
iRight = 2 * (index + 1);
if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
iMax = iLeft;
}
if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
iMax = iRight;
}
if (iMax != index) {
swap(array, iMax, index);
maxHeapify(array, iMax, heapSize); // 遞歸調整
}
}
function swap(array, i, j) {
var temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}
通常來說，遞歸主要用在分治法中，而這裡並不需要分治。而且遞歸調用需要壓棧/清棧，和迭代相比，性能上有略微的劣勢。當然，按照20/80法則，這是可以忽略的。但是如果你覺得用遞歸會讓自己心裡過不去的話，也可以用迭代，比如下面這樣：
/**
* 從 index 開始檢查並保持最大堆性質
*
* @array
*
* @index 檢查的起始下標
*
* @heapSize 堆大小
*
**/
function maxHeapify(array, index, heapSize) {
var iMax, iLeft, iRight;
while (true) {
iMax = index;
iLeft = 2 * index + 1;
iRight = 2 * (index + 1);
if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
iMax = iLeft;
}
if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
iMax = iRight;
}
if (iMax != index) {
swap(array, iMax, index);
index = iMax;
} else {
break;
}
}
}
function swap(array, i, j) {
var temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}
創建最大堆（Build-Max-Heap）的作用是將一個數組改造成一個最大堆，接受數組和堆大小兩個參數，Build-Max-Heap 將自下而上的調用 Max-Heapify 來改造數組，建立最大堆。因為 Max-Heapify 能夠保證下標 i 的結點之後結點都滿足最大堆的性質，所以自下而上的調用 Max-Heapify 能夠在改造過程中保持這一性質。如果最大堆的數量元素是 n，那麼 Build-Max-Heap 從 Parent(n) 開始，往上依次調用 Max-Heapify。流程如下：
用 JavaScript 描述如下：
function buildMaxHeap(array, heapSize) {
var i,
iParent = Math.floor((heapSize - 1) / 2);
for (i = iParent; i >= 0; i--) {
maxHeapify(array, i, heapSize);
}
}
堆排序（Heap-Sort）是堆排序的接口算法，Heap-Sort先調用Build-Max-Heap將數組改造為最大堆，然後將堆頂和堆底元素交換，之後將底部上升，最後重新調用Max-Heapify保持最大堆性質。由於堆頂元素必然是堆中最大的元素，所以一次操作之後，堆中存在的最大元素被分離出堆，重復n-1次之後，數組排列完畢。整個流程如下：
用 JavaScript 描述如下：
function heapSort(array, heapSize) {
buildMaxHeap(array, heapSize);
for (int i = heapSize - 1; i > 0; i--) {
swap(array, 0, i);
maxHeapify(array, 0, i);
}
}
4.JavaScript 語言實現
最後，把上面的整理為完整的 javascript 代碼如下：
function heapSort(array) {
function swap(array, i, j) {
var temp = array[i];
array[i] = array[j];
array[j] = temp;
}
function maxHeapify(array, index, heapSize) {
var iMax,
iLeft,
iRight;
while (true) {
iMax = index;
iLeft = 2 * index + 1;
iRight = 2 * (index + 1);
if (iLeft < heapSize && array[index] < array[iLeft]) {
iMax = iLeft;
}
if (iRight < heapSize && array[iMax] < array[iRight]) {
iMax = iRight;
}
if (iMax != index) {
swap(array, iMax, index);
index = iMax;
} else {
break;
}
}
}
function buildMaxHeap(array) {
var i,
iParent = Math.floor(array.length / 2) - 1;
for (i = iParent; i >= 0; i--) {
maxHeapify(array, i, array.length);
}
}
function sort(array) {
buildMaxHeap(array);
for (var i = array.length - 1; i > 0; i--) {
swap(array, 0, i);
maxHeapify(array, 0, i);
}
return array;
}
return sort(array);
}
5.堆排序算法的運用
（1）算法性能/復雜度
堆排序的時間復雜度非常穩定（我們可以看到，對輸入數據不敏感），為O(n㏒n)復雜度，最好情況與最壞情況一樣。
但是，其空間復雜度依實現不同而不同。上面即討論了兩種常見的復雜度：O(n)與O(1)。本著節約空間的原則，我推薦O(1)復雜度的方法。
（2）算法穩定性
堆排序存在大量的篩選和移動過程，屬於不穩定的排序算法。
（3）算法適用場景
堆排序在建立堆和調整堆的過程中會產生比較大的開銷，在元素少的時候並不適用。但是，在元素比較多的情況下，還是不錯的一個選擇。尤其是在解決諸如“前n大的數”一類問題時，幾乎是首選算法。